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By Yves Granjon

ISBN-10: 2100534238

ISBN-13: 9782100534234

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Déterminer l’équation différentielle qui lie e(t) à la tension de sortie s(t). En déduire la fonction de transfert du système. 10 Circuit électrique du second ordre. 1 Décomposons la fonction sinus en une combinaison d’exponentielles complexes : s(t) = sin vt = e jvt − e− jvt 2j Appliquons la définition de la transformée de Laplace : +∞ S( p) = +∞ s(t) e− pt dt = 0 0 S( p) = 1 2j S( p) = S( p) = 1 2j +∞ 0 e jvt e− pt dt − 0 +∞ +∞ sin vt e− pt dt = 1 2j e−( p− jv)t dt − 0 1 e−( p− jv)t 2j −( p − jv) +∞ − 0 1 2j +∞ e jvt − e− jvt − pt dt e 2j e− jvt e− pt dt 0 +∞ e−( p+ jv)t dt 0 1 e−( p+ jv)t 2j −( p + jv) +∞ 0 1 • Modélisation des systèmes linéaires.

Remarque : Il est clair qu’ici, nous perdons l’éventuelle information de déphasage à l’origine entre les deux sinusoïdes. Toutefois, les applications pour lesquelles nous avons besoin d’introduire cette nouvelle représentation fréquentielle sont telles qu’elles ne nécessiteront pas obligatoirement cette information. Par conséquent, sa perte ne doit pas susciter d’inquiétude. 3 Notion de spectre Par analogie avec les spectres lumineux composés de raies de lumière, les mathématiciens et physiciens qui ont introduit la notion de représentation fréquentielle ont décidé de la nommer spectre du signal.

1 Décomposition en série de Fourier 1 Joseph Fourier a démontré que tout signal périodique de période T (donc de fréquence f0 = , ou encore T 2p de pulsation v0 = 2pf0 = ) possédait une décomposition en une somme finie ou infinie de sinusoïdes T dont les fréquences sont des multiples de la fréquence f0 (dite fondamentale) du signal. On démontre en effet que si s(t) est périodique : +∞ s(t) = C0 + +∞ Cn cos nv0 t + n=1 Sn sin nv0 t n=1 Cet énoncé de la décomposition en série de Fourier se traduit également dans la base de fonctions élémentaires e jvt = e j2p ft qui nous sert à présent de référence : +∞ An e jnv0 t s(t) = n=−∞ avec : An = 1 T T s(t) e− jnv0 t dt.

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by James
4.0

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